Logika

Proposisi
Pernyataan yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak keduanya.
Contoh :
- 13 adalah bilangan ganjil
- Soekarno adalah alumnus UGM
- 1 + 1 = 2

Proposisi dilambangkan dengan huruf kecil p, q, r, ...
Contoh :
p : 13 adalah bilangan ganjil
q : Soekarno adalah alumnus UGM
r : 1 + 1 = 2

Mengkombinasikan Proposisi
1. Konjungsi (conjunction) : p dan q
    Notasi : p ᴧ  q
2. Disjungsi (disjunction) : p atau q
    Notasi : p ᴠ  q
3. Ingkaran (negation) dari p : tidak p
    Notasi : ~p

p dan q disebut proposisi atomik.
kombinasi p dengan q menghasilkan proposisi majemuk (compound preposition).

Diketahui proposisi-proposisi berikut :
p : Hari ini hujan
q : Murid-murid diliburkan
p ᴧ  q : Hari ini hujan dan murid-murid diliburkan
p ᴠ  q : Hari ini hujan atau murid-murid diliburkan
~p     : Tidak benar hari ini hujan (hari ini tidak hujan)

Hukum-hukum Logika (Hukum-hukum Aljabar Proposisi)
1. Hukum Identitas
    p ᴧ T ↔ p 
    p ᴠ F ↔ p

2. Hukum Null / Dominasi
    p ᴧ F ↔ F
    p ᴠ T ↔ T

3. Hukum Negasi
    p ᴧ ~p ↔ F
    p ᴠ ~p ↔ T

4. Hukum Idempoten
    p ᴧ p ↔ p
    p ᴠ p ↔ p

5. Hukum Involusi (Negasi Ganda)

    ~(~p) ↔ p

6. Hukum Absorpsi (Penyerapan)
    p ᴧ  (p ᴠ q) ↔ p
    p ᴠ  (p ᴧ q) ↔ p

7. Hukum Komutatif
    p ᴠ q ↔ q ᴠ p
    p ᴧ q ↔ q ᴧ p

8. Hukum Asosiatif
    p ᴠ (q ᴠ r) ↔ (p ᴠ q) ᴠ r
    p ᴧ (q ᴧ r) ↔ (p ᴧ q) ᴧ r

9. Hukum Distrtibutif
    p ᴠ (q ᴧ r) ↔ (p ᴠ q) ᴧ (p ᴠ r)
    p ᴧ (q ᴠ r) ↔ (p ᴧ  q) ᴠ (p ᴧ  r)

10. Hukum De Morgan
     ~(p ᴧ q) ↔ ~p ᴠ ~q
     ~(p ᴠ q) ↔ ~p ᴧ ~q

Tunjukkan bahwa p ᴠ ~(p ᴠ q) dan p ᴠ ~q keduanya ekuivalen secara logika.
a) Dengan tabel kebenaran

p	q	p ᴠ q	~(p ᴠ q)	~q	p ᴠ ~q	p ᴠ ~(p ᴠ q)
T	T	T	F	F	T	T
T	F	T	F	T	T	T
F	T	T	F	F	F	F
F	F	F	T	T	T	T

b) Dengan hukum logika

p ᴠ ~(p ᴠ q) ↔ p ᴠ  (~p ᴧ ~q)          // Hukum De Morgan

                 ↔ (p ᴠ ~p) ᴧ (p ᴠ ~q)   // Hukum Distributif

                 ↔ T ᴧ  (p ᴠ ~q)           // Hukum Negasi

                 ↔ p ᴠ ~q                    // Hukum Identitas

Disjungsi Eksklusif
1. Inclusive or
    "atau" berarti "p atau q atau keduanya".

2. Exclusive or
    "atau" berarti "p atau q tetapi bukan keduanya".

Tabel kebenaran XOR (Eksklusive or)

p	q	p ⊕ q
T	T	F
T	F	T
F	T	T
F	F	F

Proposisi Bersyarat (Kondisional atau Implikasi)
- Jika p, maka q
- Jika p, q
- p mengakibatkan q (p implies q)
- q jika p
- p hanya jika q
- p syarat cukup untuk q
- q syarat perlu bagi p
- q bilamana p

Tabel Kebenaran :

p	q	p → q
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

Contoh :
- Syarat cukup agar pom bensin meledak adalah percikan api dari rokok =

  Jika percikan api dari rokok, maka pom bensin meledak

- Syarat perlu bagi Indonesia agar ikut piala dunia adalah dengan mengontrak pemain asing kenamaan

  Jika Indonesia ikut piala dunia, maka Indonesia mengontrak pemain asing kenamaan.

Soal

Dua pedagang mengeluarkan motto untuk menarik pembeli. Pedagang pertama mengumbar motto "Barang bagus tidak murah". Sedangkan pedagang kedua mempunyai motto "barang murah tidak bagus". Apakah kedua motto pedagang tersebut menyatakan hal yang sama?

Penyelesaian

p : barang bagus

q : barang murah

Motto 1  : p → ~q

Motto 2 : q → ~p

Tabel Kebenaran :

p	q	~p	~q	p → ~q	q → ~p
T	T	F	F	F	F
T	F	F	T	T	T
F	T	T	F	T	T
F	F	T	T	T	T

p → ~q ekuivalen dengan q → ~p

Kedua motto tersebut menyatakan hal yang sama.